1) Физический смысл производной Задание 1. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=1/3 t^3 - 5t^2 - 4t - 7, где x - расстояние от точки отсчёта в метрах, t - время в секундах, измеренное с момента начала движения а) Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=12 с. б) В какой момент времени её скорость была равна 71 м/с?

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем производную от функции x(t), чтобы получить выражение для скорости v(t).
   \[ v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{3}t^3 - 5t^2 - 4t - 7\right) \]
   \[ v(t) = \frac{1}{3}\cdot 3t^2 - 5\cdot 2t - 4 \]
   \[ v(t) = t^2 - 10t - 4 \]
2. а) Найдем скорость в момент времени t=12 с:
   \[ v(12) = (12)^2 - 10\cdot 12 - 4 \]
   \[ v(12) = 144 - 120 - 4 \]
   \[ v(12) = 20 \] м/с
3. б) Найдем момент времени, когда скорость равна 71 м/с:
   \[ 71 = t^2 - 10t - 4 \]
   \[ t^2 - 10t - 4 - 71 = 0 \]
   \[ t^2 - 10t - 75 = 0 \]
   Решим квадратное уравнение, используя дискриминант:
   \[ D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4\cdot 1\cdot (-75) = 100 + 300 = 400 \]
   \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
   \[ t_1 = \frac{10 + \sqrt{400}}{2\cdot 1} = \frac{10 + 20}{2} = \frac{30}{2} = 15 \] с
   \[ t_2 = \frac{10 - \sqrt{400}}{2\cdot 1} = \frac{10 - 20}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \] с (не подходит, т.к. время не может быть отрицательным)

Ответ: а) 20 м/с; б) 15 с