Задание 4. На рисунке изображён график y = f'(x) – производной функции f(x), определённой на интервале (-19; 3). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции y = f(x)... а) параллельна прямой y = -1; б) параллельна прямой y = 2x+18 или совпадает с ней.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

На рисунке изображен график производной y = f'(x).

а) параллельна прямой y = -1;

Касательная к графику функции y = f(x) параллельна прямой y = -1, если ее угловой коэффициент равен -1. Угловой коэффициент касательной равен значению производной f'(x). Следовательно, нам нужно найти, сколько раз график f'(x) пересекает горизонтальную линию y = -1.

На графике видно, что линия y = -1 пересекает график f'(x) в следующих точках:

• Примерно при x = -12
• Примерно при x = -6
• Примерно при x = 0
• Примерно при x = 2

Всего 4 точки.

б) параллельна прямой y = 2x+18 или совпадает с ней.

Касательная к графику функции y = f(x) параллельна прямой y = 2x + 18, если ее угловой коэффициент равен 2. Угловой коэффициент касательной равен значению производной f'(x). Следовательно, нам нужно найти, сколько раз график f'(x) пересекает горизонтальную линию y = 2.

На графике видно, что линия y = 2 пересекает график f'(x) в следующих точках:

• Примерно при x = -16
• Примерно при x = -9
• Примерно при x = 4.5 (эта точка находится вне интервала (-19; 3), поэтому мы ее не учитываем).

Всего 2 точки в заданном интервале.

Ответ: а) 4 точки; б) 2 точки