1. Из точки M, не лежащей в плоскости α, проведены наклонная MA длиной 13 см и перпендикуляр MO. Если длина проекции OA = 5 см, найдите угол между наклонной MA и плоскостью α.

Проекция наклонной MA на плоскость α — отрезок OA. Так как MO перпендикулярен плоскости α, треугольник MOA прямоугольный, причём MA — гипотенуза.

По теореме Пифагора: \(MO=\sqrt{MA^2-OA^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12\) см.

Угол между прямой MA и плоскостью α равен углу MAO. Для него \(\cos\angle MAO=\frac{OA}{MA}=\frac{5}{13}\), поэтому \(\angle MAO=\arccos\frac{5}{13}\approx67.4^\circ\).

Ответ: \(\arccos\frac{5}{13}\approx67.4^\circ\).