2. Точка P находится на расстоянии 6 см от каждой из вершин правильного треугольника ABC со стороной 6√3 см. Найдите расстояние от точки P до плоскости ABC.

Пусть H — проекция точки P на плоскость ABC. Из равенства расстояний от P до вершин следует, что HA = HB = HC: например, из прямоугольных треугольников PHA и PHB имеем \(HA^2=PA^2-PH^2=HB^2\). Значит, H — центр описанной окружности правильного треугольника.

Радиус описанной окружности правильного треугольника со стороной \(6\sqrt3\) равен \(R=\frac{6\sqrt3}{\sqrt3}=6\) см. Так как \(PA=6\) см, из прямоугольного треугольника PHA получаем \(PH=\sqrt{PA^2-HA^2}=\sqrt{36-36}=0\) см.

Следовательно, P совпадает с центром описанной окружности и лежит в плоскости ABC.

Ответ: 0 см.