1. Из вершины тупого угла равнобедренной трапеции ABCD проведен перпендикуляр CE к прямой AD, содержащей большее основание. Докажите, что AE = (AD + BC)/2.

Пусть E — основание перпендикуляра из C на прямую AD, а F — основание перпендикуляра из B на AD. Так как основания трапеции параллельны, проекция отрезка FB равна BC. В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, поэтому их проекции на большее основание равны: AF = ED.

На прямой AD точки расположены в порядке A, F, E, D; отрезок FE равен BC. Поэтому AD = AF + FE + ED = 2AF + BC. Отсюда AF = (AD − BC)/2, а AE = AF + FE = (AD + BC)/2.

Следовательно, AE = (AD + BC)/2.