2. В прямоугольной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны. Большая диагональ составляет с меньшей боковой стороной угол в 60°. Докажите, что меньшая диагональ равна полусумме оснований трапеции.

Обозначим основания трапеции через a и b, где a > b, а высоту — через h. Расположим вершины так: A(0, 0), B(a, 0), C(b, h), D(0, h). Тогда диагонали имеют направления AC = (b, h) и BD = (−a, h). Их перпендикулярность означает:

−ab + h² = 0, то есть h² = ab.

Меньшая боковая сторона — AD, длина которой равна h. Угол между большей диагональю BD и AD равен 60°. Поэтому cos 60° = h / √(a² + h²), откуда a² + h² = 4h² и a² = 3h².

Подставляя h² = ab, получаем a² = 3ab, значит, a = 3b. Тогда меньшая диагональ AC имеет длину √(b² + h²) = √(b² + ab) = √(4b²) = 2b. Полусумма оснований также равна (a + b)/2 = (3b + b)/2 = 2b.

Следовательно, меньшая диагональ равна полусумме оснований.