1. Из вершины тупого угла равнобедренной трапеции ABCD проведён перпендикуляр CE к прямой AD, содержащей большее основание. Докажите, что AE = (AD + BC) / 2.

Пусть E — основание перпендикуляра из вершины C на прямую AD. Опустим также перпендикуляр из B на AD; его основание обозначим F.

Четырёхугольник BCEF — прямоугольник, поэтому EF = BC. В равнобедренной трапеции проекции боковых сторон на большее основание равны: AF = ED.

Так как точки A, F, E, D лежат на одной прямой, получаем AD = AF + FE + ED = 2AF + BC. Кроме того, AE = AF + FE = AF + BC.

Из равенства AD = 2AF + BC следует AF = (AD − BC) / 2. Тогда AE = (AD − BC) / 2 + BC = (AD + BC) / 2.

Что и требовалось доказать.