Вариант 2. 1. Диагонали равнобедренной трапеции ABCD взаимно перпендикулярны. Докажите, что расстояние между прямыми AD и BC, содержащими основания, равно (AD + BC) / 2.

Обозначим длины оснований через a = AD и b = BC, а расстояние между прямыми, содержащими основания, — через h. Разместим равнобедренную трапецию симметрично относительно вертикальной оси: A(−a/2, 0), D(a/2, 0), B(−b/2, h), C(b/2, h).

Векторы диагоналей AC и BD равны ( (a + b)/2, h ) и (−(a + b)/2, h). Из их перпендикулярности следует, что скалярное произведение равно нулю:

(h² − ((a + b)/2)²) = 0.

Так как h — положительное расстояние, получаем h = (a + b)/2 = (AD + BC)/2.

Что и требовалось доказать.