1. Изобразить график функции синуса, косинуса, тангенса, котангенса и описать свойства функции. 2. Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех перпендикулярах. 3. Практическое задание.

Экзаменационный билет № 1

1. Графики тригонометрических функций и их свойства:

Синус (y = sin(x)):

• График: Синусоида.
• Область определения: \( \mathbb{R} \).
• Область значений: \( [-1; 1] \).
• Периодичность: \( 2\pi \).
• Чётность: Нечётная ( \( \sin(-x) = -\sin(x) \) ).
• Нули функции: \( x = \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
• Возрастание/убывание: Возрастает на \( [-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n] \), убывает на \( [\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n] \).

Косинус (y = cos(x)):

• График: Косинусоида.
• Область определения: \( \mathbb{R} \).
• Область значений: \( [-1; 1] \).
• Периодичность: \( 2\pi \).
• Чётность: Чётная ( \( \cos(-x) = \cos(x) \) ).
• Нули функции: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
• Возрастание/убывание: Возрастает на \( [\pi + 2\pi n; 2\pi + 2\pi n] \), убывает на \( [0 + 2\pi n; \pi + 2\pi n] \).

Тангенс (y = tg(x)):

• График: Тангенсоида.
• Область определения: \( x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
• Область значений: \( \mathbb{R} \).
• Периодичность: \( \pi \).
• Чётность: Нечётная.
• Нули функции: \( x = \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
• Асимптоты: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \).

Котангенс (y = ctg(x)):

• График: Котангенсоида.
• Область определения: \( x \neq \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
• Область значений: \( \mathbb{R} \).
• Периодичность: \( \pi \).
• Чётность: Нечётная.
• Нули функции: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
• Асимптоты: \( x = \pi n \).

2. Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех перпендикулярах:

Перпендикуляр — это отрезок, проведенный из данной точки к данной плоскости, который перпендикулярен этой плоскости.

Наклонная — это отрезок, проведенный из данной точки к данной плоскости, который пересекает перпендикуляр.

Теорема о трех перпендикулярах: Если к плоскости из точки проведены перпендикуляр и наклонная, то произведение этих отрезков перпендикулярно к прямой, проведенной в плоскости через основание наклонной параллельно проекции наклонной, тогда и только тогда, когда эта прямая перпендикулярна к проекции наклонной.

3. Практическое задание: (требует конкретного задания для выполнения).