1. Записать формулы производных степенной и тригонометрических функций. Привести примеры. 2. Конус и его элементы. Объем конуса. Формула для вычисления объема конуса

Экзаменационный билет № 7

1. Формулы производных степенной и тригонометрических функций:

Степенная функция:

• \( (x^n)' = nx^{n-1} \)
• Пример: \( (x^3)' = 3x^2 \), \( (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)

Тригонометрические функции:

• \( (\sin x)' = \cos x \)
• \( (\cos x)' = -\sin x \)
• \( (\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x} \)
• \( (\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x} \)

Примеры:

• \( (\sin x + \cos x)' = (\sin x)' + (\cos x)' = \cos x - \sin x \)
• \( (2 \operatorname{tg} x)' = 2 (\operatorname{tg} x)' = \frac{2}{\cos^2 x} \)

2. Конус:

Конус — это тело, которое получается вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

Элементы конуса:

• Основание: круг.
• Высота (h): катет, вокруг которого вращается треугольник; перпендикулярное расстояние от вершины до основания.
• Радиус основания (r): катет, являющийся радиусом основания.
• Образующие (l): гипотенуза прямоугольного треугольника, которая при вращении описывает боковую поверхность конуса. \( l = \sqrt{r^2 + h^2} \).

Объем конуса:

Формула для вычисления объема конуса: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \pi r^2 h \).