1. Какой угол образуют единичные векторы \(\vec a\) и \(\vec b\), если известно, что векторы \(\vec a+2\vec b\) и \(5\vec a-4\vec b\) взаимно перпендикулярны?

Перпендикулярность означает, что скалярное произведение равно нулю:

\((\vec a+2\vec b)\cdot(5\vec a-4\vec b)=0\).

Раскроем скалярное произведение и учтём, что \(|\vec a|=|\vec b|=1\):

\(5|\vec a|^2-4(\vec a\cdot\vec b)+10(\vec b\cdot\vec a)-8|\vec b|^2=0\),

\(5-4(\vec a\cdot\vec b)+10(\vec a\cdot\vec b)-8=0\),

\(6(\vec a\cdot\vec b)-3=0\), поэтому \(\vec a\cdot\vec b=\frac12\).

Для единичных векторов \(\vec a\cdot\vec b=\cos\theta\), следовательно, \(\cos\theta=\frac12\).

Ответ: угол между векторами равен \(60^\circ\).