2. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ длина ребра равна 1, $M$ — центр грани $DD_1C_1C$. Используя метод координат, найдите: 1) угол между прямыми $AM$ и $B_1D$; 2) расстояние между серединами отрезков $AM$ и $B_1D$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ длина ребра равна 1, $M$ — центр грани $DD_1C_1C$. Используя метод координат, найдите:…$ Фото задания

2. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ длина ребра равна 1, $M$ — центр грани $DD_1C_1C$. Используя метод координат, найдите: 1) угол между прямыми $AM$ и $B_1D$; 2) расстояние между серединами отрезков $AM$ и $B_1D$.

Accepted Answer

Введём координаты: $A=(0,0,0)$, $B=(1,0,0)$, $D=(0,1,0)$, $A_1=(0,0,1)$. Тогда $B_1=(1,0,1)$, $C_1=(1,1,1)$, $D_1=(0,1,1)$, а центр грани $DD_1C_1C$ имеет координаты $M=(\frac12,1,\frac12)$.

1) Угол между прямыми.

Направляющие векторы можно взять такими: $\overrightarrow{AM}=(\frac12,1,\frac12)$, $\overrightarrow{DB_1}=(1,-1,1)$. Их скалярное произведение равно $\frac12-1+\frac12=0$, поэтому прямые перпендикулярны.

2) Расстояние между серединами.

Середина $AM$: $P=(\frac14,\frac12,\frac14)$. Середина $B_1D$: $Q=(\frac12,\frac12,\frac12)$.

$PQ=\sqrt{(\frac12-\frac14)^2+(\frac12-\frac12)^2+(\frac12-\frac14)^2}=\sqrt{\frac18}=\frac{\sqrt2}{4}$.

Ответ: 1) $90^\circ$; 2) $\frac{\sqrt2}{4}$.