3. Даны две точки: $A$, лежащая на оси ординат, и $B(1; 0; 1)$. Прямая $AB$ составляет с плоскостью $Oxz$ угол в $30^\circ$. Найдите координаты точки $A$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Даны две точки: $A$, лежащая на оси ординат, и $B(1; 0; 1)$. Прямая $AB$ составляет с плоскостью $Oxz$ угол в…$ Фото задания

3. Даны две точки: $A$, лежащая на оси ординат, и $B(1; 0; 1)$. Прямая $AB$ составляет с плоскостью $Oxz$ угол в $30^\circ$. Найдите координаты точки $A$.

Accepted Answer

Так как точка $A$ лежит на оси ординат, запишем $A=(0;t;0)$. Тогда направляющий вектор прямой $AB$: $\overrightarrow{AB}=(1,-t,1)$.

Плоскость $Oxz$ имеет уравнение $y=0$, а её нормальный вектор направлен вдоль оси ординат. Угол $\alpha$ между прямой и плоскостью удовлетворяет соотношению $\sin\alpha=\frac{|t|}{\sqrt{t^2+2}}$.

Подставим $\alpha=30^\circ$: $\frac{|t|}{\sqrt{t^2+2}}=\frac12$. Возводим в квадрат: $4t^2=t^2+2$, значит $t^2=\frac23$, откуда $t=\pm\frac{\sqrt6}{3}$.

Поскольку знак координаты не задан, подходят две точки.

Ответ: $A=(0;\frac{\sqrt6}{3};0)$ или $A=(0;-\frac{\sqrt6}{3};0)$.

3. Даны две точки: \(A\), лежащая на оси ординат, и \(B(1; 0; 1)\). Прямая \(AB\) составляет с плоскостью \(Oxz\) угол в \(30^\circ\). Найдите координаты точки \(A\).

Ответ: