1. Катер прошёл 16 км по течению реки и 7 км обратно, затратив на весь путь 45 мин. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Найдите собственную скорость катера.

Пусть собственная скорость катера равна x км/ч. Тогда скорость по течению — x + 2, а против течения — x − 2 км/ч. Переведём время: 45 мин = 0,75 ч.

Составим уравнение времени в пути:

\(\dfrac{16}{x+2}+\dfrac{7}{x-2}=0.75\), где \(x>2\).

Умножим на \(4(x+2)(x-2)\):

\(64(x-2)+28(x+2)=3(x^2-4)\).

Раскроем скобки и приведём подобные:

\(92x-72=3x^2-12\), поэтому \(3x^2-92x+60=0\).

По формуле корней: \(x=\dfrac{46\pm2\sqrt{484}}{3}=\dfrac{46\pm44}{3}\). Получаем \(x=30\) или \(x=\dfrac{2}{3}\). Второй корень не подходит, так как скорость катера должна быть больше скорости течения.

Проверка: \(16/32+7/28=0.5+0.25=0.75\) ч.

Ответ: 30 км/ч.