4. Знаменатель обыкновенной дроби на 6 больше её числителя. Если из числителя вычесть 2, а к знаменателю прибавить 2, то дробь уменьшится на \(\frac{1}{6}\). Найдите эту дробь.

Пусть числитель равен \(x\), тогда знаменатель равен \(x+6\). Исходная дробь — \(\dfrac{x}{x+6}\), изменённая — \(\dfrac{x-2}{x+8}\). По условию разность между ними равна \(\dfrac{1}{6}\):

\(\dfrac{x}{x+6}-\dfrac{x-2}{x+8}=\dfrac{1}{6}\).

Вычтем дроби слева:

\(\dfrac{x(x+8)-(x-2)(x+6)}{(x+6)(x+8)}=\dfrac{1}{6}\).

Числитель равен \(2x+12=2(x+6)\), поэтому при допустимом \(x\ne-6\):

\(\dfrac{2}{x+8}=\dfrac{1}{6}\).

Отсюда \(x+8=12\), значит, \(x=4\). Знаменатель равен \(4+6=10\).

Проверка: исходная дробь \(4/10\), изменённая — \(2/12=1/6\); разность \(2/5-1/6=7/30\), не равна \(1/6\). Перепроверим сокращение: числитель разности \(x(x+8)-(x-2)(x+6)=x^2+8x-(x^2+4x-12)=4x+12\). Тогда уравнение \(\dfrac{4x+12}{(x+6)(x+8)}=\dfrac16\), то есть \(24x+72=x^2+14x+48\), откуда \(x^2-10x-24=0\). Корни: \(x=12\) или \(x=-2\).

При \(x=12\) дробь \(12/18=2/3\), изменённая дробь \(10/20=1/2\); уменьшение составляет \(1/6\). При \(x=-2\) числитель исходной дроби отрицателен, что обычно не рассматривается в школьной задаче об обыкновенной дроби.

Ответ: \(\frac{12}{18}=\frac{2}{3}\).