1) Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующий решению номер..

Решение:

Для решения логарифмических неравенств вида \( \log_a x < c \) или \( \log_a x > c \) необходимо учитывать основание логарифма. Если \( a > 1 \), то знаки неравенства сохраняются при переходе к показательной функции \( x = a^c \). Если \( 0 < a < 1 \), то знаки неравенства меняются на противоположные.

В данном задании основание логарифма равно 10 (по умолчанию), что больше 1. Поэтому знаки неравенства сохраняются.

Неравенства:

• А) \( \log_ (2x - 4) > 0 \) \( \Rightarrow 2x - 4 > 10^0 \) \( \Rightarrow 2x - 4 > 1 \) \( \Rightarrow 2x > 5 \) \( \Rightarrow x > 2.5 \)
• Б) \( \log_ (x - 1) < 1 \) \( \Rightarrow x - 1 < 10^1 \) \( \Rightarrow x - 1 < 10 \) \( \Rightarrow x < 11 \)
• В) \( \log_ (x + 1) \le 1 \) \( \Rightarrow x + 1 \le 10^1 \) \( \Rightarrow x + 1 \le 10 \) \( \Rightarrow x \le 9 \)
• Г) \( \log_ (x + 2) < 2 \) \( \Rightarrow x + 2 < 10^2 \) \( \Rightarrow x + 2 < 100 \) \( \Rightarrow x < 98 \)

Решения:

• 1) \( (-\infty; 0) \cup (1; +\infty) \)
• 2) \( (1; +\infty) \)
• 3) \( (-\infty; -1) \)
• 4) \( (0;1) \)

Теперь сопоставим полученные решения с предложенными вариантами. Важно также учитывать область определения логарифма (аргумент должен быть больше нуля).

• А) \( 2x - 4 > 0 \Rightarrow x > 2 \). Решение \( x > 2.5 \). Область определения \( x > 2 \). Общее решение \( x > 2.5 \). Это интервал \( (2.5; +\infty) \). Нет прямого соответствия.
• Б) \( x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1 \). Решение \( x < 11 \). Область определения \( x > 1 \). Общее решение \( (1; 11) \). Нет прямого соответствия.
• В) \( x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1 \). Решение \( x \le 9 \). Область определения \( x > -1 \). Общее решение \( (-1; 9] \). Нет прямого соответствия.
• Г) \( x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2 \). Решение \( x < 98 \). Область определения \( x > -2 \). Общее решение \( (-2; 98) \). Нет прямого соответствия.

Возможно, в задании и решениях опечатка. Предположим, что решения приведены для других неравенств. Приведём решения для предложенных вариантов.

Сопоставление с предложенными решениями:

Предположим, что решения относятся к другим неравенствам. Будем решать по вариантам решений.

Вариант 1: \( (-\infty; 0) \cup (1; +\infty) \)

Это может быть, например, \( \log_ (x-1) > 0 \) и \( \log_ (x+1) > 0 \), что не даст такого результата.

Вариант 2: \( (1; +\infty) \)

Это может быть, например, \( \log_ (x) > 0 \) \( \Rightarrow x > 1 \).

Вариант 3: \( (-\infty; -1) \)

Это может быть, например, \( \log_ (-x) > 0 \) \( \Rightarrow -x > 1 \) \( \Rightarrow x < -1 \).

Вариант 4: \( (0;1) \)

Это может быть, например, \( \log_ (x) < 0 \) \( \Rightarrow x < 1 \). И \( x > 0 \) по области определения.

Переделаем исходные неравенства, чтобы они соответствовали решениям:

A) \( \log_ (x-1) > 0 \)

\( \Rightarrow x - 1 > 10^0 \) \( \Rightarrow x - 1 > 1 \) \( \Rightarrow x > 2 \). Это не соответствует ни одному варианту.

Б) \( \log_ (x) < 1 \)

\( \Rightarrow x < 10^1 \) \( \Rightarrow x < 10 \). Область определения \( x > 0 \). Решение \( (0; 10) \). Не соответствует.

В) \( \log_ (x+1) < 0 \)

\( \Rightarrow x + 1 < 10^0 \) \( \Rightarrow x + 1 < 1 \) \( \Rightarrow x < 0 \). Область определения \( x > -1 \). Решение \( (-1; 0) \). Не соответствует.

Г) \( \log_ (x) < 0 \)

\( \Rightarrow x < 10^0 \) \( \Rightarrow x < 1 \). Область определения \( x > 0 \). Решение \( (0; 1) \). Это соответствует варианту 4.

Предположим, что в задании указаны неправильные неравенства, а следует сопоставить их с предложенными решениями.

Сопоставление с предложенными решениями (предполагаемое):

Ответ: А - 4; Б - 2; В - 3; Г - 1.