1. Краткие теоретические сведения. Корнем n-й степени из числа a называется такое число, n-я степень которого равна a. Арифметическим корнем n-й степени из числа a называют неотрицательное число, n-я степень которого равна a. Основное тождество: √[n]{a}=a^(1/n). Пример 1: 1) ∛27=3 — корень нечётной степени; 2) √[6]{64}=2 — корень чётной степени; 3) ∛(−8)=−2 — арифметический корень, а ∛8=2 — арифметический корень. 2. Основные свойства арифметических корней n-й степени. Для натурального n, положительных a и b выполнены равенства: 1) √[n]{ab}=√[n]{a}·√[n]{b}; 2) √[n]{a/b}=√[n]{a}/√[n]{b} (b≠0); 3) √[n]{(a^k)}=√[nk]{a^k} (k>0); 4) √[n]{a}=√[nk]{a^k} (k>0); 5) √[n]{a^k}=(√[n]{a})^k. Пример 2. Найдите значение: а) ∛8; б) √[4]{81/16}.

В теоретической части есть две неточности. Для чётного n корень √[n]{a} в действительных числах определён при a≥0 и является неотрицательным. Для нечётного n корень √[n]{a} определён при любом действительном a; он может быть отрицательным. Поэтому ∛(−8)=−2 — корень нечётной степени, но не арифметический корень; арифметическими называют только неотрицательные корни.

Также в основном тождестве запись должна быть √[n]{a}=a^(1/n), при допустимом значении a. Для чётного n требуется a≥0.

Проверка примеров: 1) √[3]{27}=3, поскольку 3³=27. 2) √[6]{64}=2, поскольку 2⁶=64. 3) √[3]{−8}=−2, поскольку (−2)³=−8; √[3]{8}=2, поскольку 2³=8.

Свойства произведения и частного верны при допустимых подкоренных выражениях; для чётных корней подкоренные выражения должны быть неотрицательными. В пункте 2(3) формула в изображении читается неоднозначно: видна запись со степенями a^k и индексами n, nk. Если подразумевается √[n]{a^k}=√[nk]{a^{k}}, она неверна в общем случае. Для преобразования с расширением показателя корректно: √[n]{a}=√[nk]{a^k} при a≥0 для чётного n и k>0. Пункт 2(4) как раз соответствует этому равенству. Пункт 2(5) корректен при тех же ограничениях на корень.

Пример 2: а) √[3]{8}=2, так как 2³=8. б) √[4]{81/16}=3/2, так как (3/2)⁴=81/16.

Ответ: а) 2; б) 3/2.