1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 отмечены точки А, В и С. Найдите сумму углов АВС и САВ. Ответ дайте в градусах.

Пошаговое решение:

1. Рассмотрим клетчатую бумагу как систему координат. Пусть точка А имеет координаты (0, 4), точка В имеет координаты (4, 0), и точка С имеет координаты (4, 4).
2. Угол АВС: Вектор BA = (0-4, 4-0) = (-4, 4). Вектор BC = (4-4, 4-0) = (0, 4). Косинус угла между векторами BA и BC вычисляется по формуле: cos(ABC) = (BA · BC) / (|BA| · |BC|). BA · BC = (-4)(0) + (4)(4) = 16. |BA| = sqrt((-4)^2 + 4^2) = sqrt(16 + 16) = sqrt(32) = 4*sqrt(2). |BC| = sqrt(0^2 + 4^2) = sqrt(16) = 4. cos(ABC) = 16 / (4*sqrt(2) * 4) = 16 / (16*sqrt(2)) = 1/sqrt(2). Следовательно, угол ABC = 45°.
3. Угол САВ: Вектор AC = (4-0, 4-4) = (4, 0). Вектор AB = (4-0, 0-4) = (4, -4). BA · AC = (4)(4) + (-4)(0) = 16. |AC| = sqrt(4^2 + 0^2) = 4. |AB| = sqrt(4^2 + (-4)^2) = sqrt(16 + 16) = sqrt(32) = 4*sqrt(2). cos(CAB) = 16 / (4 * 4*sqrt(2)) = 16 / (16*sqrt(2)) = 1/sqrt(2). Следовательно, угол CAB = 45°.
4. Сумма углов АВС и САВ = 45° + 45° = 90°.

Ответ: 90