1. На рисунке 1 AD = DC; ED = DF; ∠1 = ∠2 = 90°. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

Решение:

Рассмотрим треугольники $$\triangle ADE$$ и $$\triangle CDF$$.

1. $$AD = DC$$ (по условию).
2. $$ED = DF$$ (по условию).
3. $$\angle 1 = \angle 2 = 90^{\circ}$$ (по условию), значит, $$\angle ADE = \angle CDF$$ как вертикальные углы.
4. По двум сторонам и углу между ними, $$\triangle ADE \cong \triangle CDF$$ (по первому признаку равенства треугольников).
5. Следовательно, $$AE = CF$$.
6. Рассмотрим треугольники $$\triangle ABE$$ и $$\triangle CBF$$.
7. $$AE = CF$$ (доказано выше).
8. $$BE = BF$$ (по условию $$ED=DF$$ и $$\triangle ADE \triangle CDF$$ равны, отсюда следует, что $$BE = BD+DE$$ и $$BF = BD+DF$$, т.к. $$DE=DF$$, то $$BE=BF$$).
9. $$\angle AEB = \angle CFB$$ (углы при основании равнобедренного треугольника $$\triangle EBF$$).
10. $$\angle BAE = \angle BCF$$ (сумма углов треугольника ABE и CBF).
11. Так как $$AE=CF$$, $$BE=BF$$ и $$AB=BC$$, то $$\triangle ABC$$ равнобедренный.

Доказано.