4. Один из острых углов прямоугольного треугольника в два раза меньше другого, а разность гипотенузы и меньшего катета равна 15 см. Найдите гипотенузу и меньший катет.

Дано:

Прямоугольный $$\triangle ABC$$, $$\angle C = 90^{\circ}$$.

$$\alpha = 2 \beta$$ (где $$\alpha$$ и $$\beta$$ — острые углы).

$$AB - BC = 15$$ см (если $$\beta$$ — меньший угол, то $$BC$$ — меньший катет).

Найти:

$$AB$$, $$BC$$.

Решение:

1. Так как $$\triangle ABC$$ прямоугольный, то $$\alpha + \beta = 90^{\circ}$$.
2. Подставим первое условие во второе: $$2\beta + \beta = 90^{\circ}$$.
3. $$3\beta = 90^{\circ}$$.
4. $$\beta = 30^{\circ}$$.
5. $$\alpha = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ}$$.
6. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $$30^{\circ}$$, равен половине гипотенузы. Следовательно, $$BC = \frac{1}{2} AB$$.
7. Подставим это в уравнение из условия: $$AB - BC = 15$$.
8. $$AB - \frac{1}{2} AB = 15$$.
9. $$\frac{1}{2} AB = 15$$.
10. $$AB = 30$$ см.
11. $$BC = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15$$ см.

Ответ: Гипотенуза равна 30 см, меньший катет равен 15 см.