6. В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АВ и ∠A = 60° проведена высота СН. Найдите ВН, если АН = 6 см.

Дано:

$$\triangle ABC$$, $$\angle C = 90^{\circ}$$, $$CH \perp AB$$. $$CH$$ — высота.

$$AB$$ — гипотенуза.

$$\angle A = 60^{\circ}$$.

$$AH = 6$$ см.

Найти:

$$BH$$.

Решение:

1. Так как $$\angle A = 60^{\circ}$$ и $$\angle C = 90^{\circ}$$, то $$\angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$$.
2. Рассмотрим прямоугольный $$\triangle ACH$$. В нём $$\angle A = 60^{\circ}$$ и $$\angle AHC = 90^{\circ}$$.
3. Катет $$AH$$ лежит против угла $$30^{\circ}$$ (неверно, $$\angle ACH = 30^{\circ}$$).
4. В $$\triangle ACH$$: $$\angle ACH = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$$.
5. Катет $$AH$$ лежит против угла $$30^{\circ}$$, поэтому $$AH = \frac{1}{2} AC$$.
6. $$AC = 2 · AH = 2 · 6 = 12$$ см.
7. Теперь рассмотрим прямоугольный $$\triangle ABC$$.
8. Мы знаем катет $$AC = 12$$ см и угол $$\angle A = 60^{\circ}$$.
9. Мы можем найти гипотенузу $$AB$$, используя соотношение: $$\cos A = \frac{AC}{AB}$$.
10. $$\cos 60^{\circ} = \frac{12}{AB}$$.
11. $$\frac{1}{2} = \frac{12}{AB}$$.
12. $$AB = 24$$ см.
13. Теперь мы можем найти $$BH$$, зная $$AB$$ и $$AH$$: $$BH = AB - AH$$.
14. $$BH = 24 - 6 = 18$$ см.
15. Альтернативный способ:
16. В прямоугольном $$\triangle BCH$$, $$\angle B = 30^{\circ}$$ и $$\angle BHC = 90^{\circ}$$.
17. Катет $$BH$$ лежит против угла $$30^{\circ}$$ (неверно, $$CH$$ лежит против угла $$30^{\circ}$$).
18. В $$\triangle BCH$$: $$\angle BCH = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$$.
19. Катет $$CH$$ лежит против угла $$30^{\circ}$$, поэтому $$CH = \frac{1}{2} BH$$.
20. Из $$\triangle ACH$$, $$CH = AH \cdot \tan A = 6 \cdot \tan 60^{\circ} = 6\sqrt{3}$$ см.
21. $$BH = \frac{CH}{\tan B} = \frac{6\sqrt{3}}{\tan 30^{\circ}} = \frac{6\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = 6 \cdot 3 = 18$$ см.

Ответ: $$BH = 18$$ см.