2. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 18 см. Найдите гипотенузу и меньший катет.

Дано:

Прямоугольный $$\triangle ABC$$, $$\angle C = 90^{\circ}$$.

$$\angle A = 60^{\circ}$$ (или $$\angle B = 60^{\circ}$$).

$$AB + BC = 18$$ см (если $$\angle A = 60^{\circ}$$, то $$BC$$ — меньший катет).

Найти:

$$AB$$, $$BC$$.

Решение:

1. Так как $$\triangle ABC$$ прямоугольный, то $$\angle A + \angle B = 90^{\circ}$$.
2. Если $$\angle A = 60^{\circ}$$, то $$\angle B = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$$.
3. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $$30^{\circ}$$, равен половине гипотенузы. Следовательно, $$BC = \frac{1}{2} AB$$.
4. Подставим это в уравнение из условия: $$AB + BC = 18$$.
5. $$AB + \frac{1}{2} AB = 18$$.
6. $$\frac{3}{2} AB = 18$$.
7. $$AB = 18 \cdot \frac{2}{3} = 12$$ см.
8. $$BC = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$$ см.

Ответ: Гипотенуза равна 12 см, меньший катет равен 6 см.