1. На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяли точки М и N соответственно так, что AM = 7, MB = 10, AN = 5 и NC = 9. Найдите площадь треугольника AMN, если площадь треугольника АВС равна 68.

Question

Вопрос:

Фото задания: 1. На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяли точки М и N соответственно так, что AM = 7, MB = 10, AN = 5 и NC = 9. Найдите…

1. На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяли точки М и N соответственно так, что AM = 7, MB = 10, AN = 5 и NC = 9. Найдите площадь треугольника AMN, если площадь треугольника АВС равна 68.

Accepted Answer

Решение:

Площади подобных треугольников относятся как квадраты их сходственных сторон. Треугольники AMN и ABC подобны по двум сторонам и углу между ними (угол А общий, $$\frac{AM}{AB} = \frac{7}{7+10} = \frac{7}{17}$$, $$\frac{AN}{AC} = \frac{5}{5+9} = \frac{5}{14}$$ — стороны не пропорциональны, значит, треугольники не подобны).

Воспользуемся формулой площади треугольника: $$S = \frac{1}{2}ab \sin C$$.

Площадь треугольника AMN: $$S_{AMN} = \frac{1}{2} AM \cdot AN \cdot \sin A$$.

Площадь треугольника ABC: $$S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin A$$.

Выразим $$\sin A$$ из второй формулы: $$\sin A = \frac{2 S_{ABC}}{AB \cdot AC}$$.

Подставим в первую формулу: $$S_{AMN} = \frac{1}{2} AM \cdot AN \cdot \frac{2 S_{ABC}}{AB \cdot AC} = \frac{AM \cdot AN}{AB \cdot AC} \cdot S_{ABC}$$.

Найдём длины сторон AB и AC:

AB = AM + MB = 7 + 10 = 17.

AC = AN + NC = 5 + 9 = 14.

Теперь вычислим площадь треугольника AMN:

$$S_{AMN} = \frac{7 \cdot 5}{17 \cdot 14} \cdot 68 = \frac{35}{238} \cdot 68 = \frac{35}{17 14} \cdot 68 = \frac{35}{17 2 7} \cdot 68 = \frac{5}{17 2} \cdot 68 = \frac{5}{34} \cdot 68 = 5 \cdot 2 = 10$$.

Ответ: 10.