3. В правильной шестиугольной пирамиде боковое ребро равно 7,4, а сторона основания равна 2,4. Найдите высоту пирамиды.

Решение:

В основании правильной шестиугольной пирамиды лежит правильный шестиугольник. Длина стороны основания $$a = 2.4$$. Боковое ребро $$l = 7.4$$.

Высота пирамиды $$h$$, апофема $$k$$ (высота боковой грани) и боковое ребро $$l$$ образуют прямоугольный треугольник. Также, радиус описанной окружности вокруг основания $$R$$ (который равен стороне шестиугольника в правильном шестиугольнике) и высота пирамиды $$h$$ образуют прямоугольный треугольник с боковым ребром $$l$$.

В основании правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен стороне шестиугольника: $$R = a = 2.4$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды ($$h$$), радиусом описанной окружности ($$R$$) и боковым ребром ($$l$$). По теореме Пифагора:

$$l^2 = h^2 + R^2$$

Выразим высоту $$h$$:

$$h^2 = l^2 - R^2$$

$$h = \sqrt{l^2 - R^2}$$

Подставим значения:

$$h = \sqrt{(7.4)^2 - (2.4)^2}$$

$$h = \sqrt{54.76 - 5.76}$$

$$h = \sqrt{49}$$

$$h = 7$$

Ответ: 7.