1. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел 36 и 86. Делятся ли НОК (36; 86) на 2, 3, 5, 9, 10? Разложите это число на простые множители.

Решение:

1. Разложим числа 36 и 86 на простые множители:

\( 36 = 2^2 \cdot 3^2 \)

\( 86 = 2 \cdot 43 \)

Наибольший общий делитель (НОД) — это произведение общих простых множителей в наименьшей степени:

\( \text{НОД}(36; 86) = 2 \)

Наименьшее общее кратное (НОК) — это произведение всех простых множителей, взятых в наибольшей степени:

\( \text{НОК}(36; 86) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 43 = 4 \cdot 9 \cdot 43 = 36 \cdot 43 = 1548 \)

2. Проверим, делятся ли НОК (36; 86) = 1548 на 2, 3, 5, 9, 10:

• \( 1548 \div 2 = 774 \) (делится)
• \( 1548 \div 3 = 516 \) (делится, так как сумма цифр \( 1+5+4+8 = 18 \), а \( 18 \) делится на \( 3 \))
• \( 1548 \) на \( 5 \) не делится (не заканчивается на 0 или 5)
• \( 1548 \) на \( 9 \) не делится (сумма цифр \( 18 \), которая делится на \( 9 \), но сам факт деления на 3 не гарантирует делимость на 9)
• \( 1548 \) на \( 10 \) не делится (не заканчивается на 0)

3. Разложим число 1548 на простые множители:

\( 1548 = 2 \cdot 774 = 2 \cdot 2 \cdot 387 = 2^2 \cdot 3 \cdot 129 = 2^2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 43 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 43 \)

Ответ: НОД(36; 86) = 2, НОК(36; 86) = 1548. НОК делится на 2 и 3. Разложение на простые множители: 1548 = 2² · 3² · 43.