5. Как изменятся длина окружности и площадь круга, если их радиус а) увеличить в 4 раза; б) уменьшить в 2 раза; в) уменьшить в 6 1/6 раза?

Решение:

Длина окружности вычисляется по формуле \( C = 2\pi r \), а площадь круга — по формуле \( S = \pi r^2 \).

а) Увеличение радиуса в 4 раза:

• Новая длина окружности: \( C' = 2\pi (4r) = 4(2\pi r) = 4C \). Длина окружности увеличится в 4 раза.
• Новая площадь круга: \( S' = \pi (4r)^2 = \pi (16r^2) = 16(\pi r^2) = 16S \). Площадь круга увеличится в 16 раз.

б) Уменьшение радиуса в 2 раза:

• Новая длина окружности: \( C' = 2\pi (r/2) = (2\pi r)/2 = C/2 \). Длина окружности уменьшится в 2 раза.
• Новая площадь круга: \( S' = \pi (r/2)^2 = \pi (r^2/4) = S/4 \). Площадь круга уменьшится в 4 раза.

в) Уменьшение радиуса в \( 6\frac{1}{6} = \frac{37}{6} \) раза:

• Новая длина окружности: \( C' = 2\pi (r / \frac{37}{6}) = 2\pi r \cdot \frac{6}{37} = C \cdot \frac{6}{37} \). Длина окружности уменьшится в \( \frac{37}{6} \) раза.
• Новая площадь круга: \( S' = \pi (r / \frac{37}{6})^2 = \pi r^2 \cdot (\frac{6}{37})^2 = S \cdot \frac{36}{1369} \). Площадь круга уменьшится в \( (\frac{37}{6})^2 = \frac{1369}{36} \) раза.

Ответ: а) Длина окружности увеличится в 4 раза, площадь круга увеличится в 16 раз. б) Длина окружности уменьшится в 2 раза, площадь круга уменьшится в 4 раза. в) Длина окружности уменьшится в 6 1/6 раза, площадь круга уменьшится в 36/1369 раза.