5. Как изменятся длина окружности и площадь круга, если их радиус а) увеличить в 4 раза; б) уменьшить в 2 раза; в) уменьшить в 6 1/6 раза?

Краткое пояснение:

Длина окружности и площадь круга прямо пропорциональны радиусу (или квадрату радиуса). Поэтому при изменении радиуса, длина окружности изменится пропорционально изменению радиуса, а площадь — пропорционально квадрату изменения радиуса.

Основные формулы:

• Длина окружности: \( C = 2 πr \)
• Площадь круга: \( S = πr^2 \)

а) Увеличение радиуса в 4 раза:

1. Длина окружности:
   Пусть новый радиус \( r_1 = 4r \).
   Новая длина окружности \( C_1 = 2πr_1 = 2π(4r) = 4(2πr) = 4C \).
   Длина окружности увеличится в 4 раза.
2. Площадь круга:
   Пусть новый радиус \( r_1 = 4r \).
   Новая площадь \( S_1 = πr_1^2 = π(4r)^2 = π(16r^2) = 16(πr^2) = 16S \).
   Площадь круга увеличится в 16 раз.

б) Уменьшение радиуса в 2 раза:

1. Длина окружности:
   Пусть новый радиус \( r_2 = r/2 \).
   Новая длина окружности \( C_2 = 2πr_2 = 2π(r/2) = (2πr)/2 = C/2 \).
   Длина окружности уменьшится в 2 раза.
2. Площадь круга:
   Пусть новый радиус \( r_2 = r/2 \).
   Новая площадь \( S_2 = πr_2^2 = π(r/2)^2 = π(r^2/4) = (πr^2)/4 = S/4 \).
   Площадь круга уменьшится в 4 раза.

в) Уменьшение радиуса в 6 1/6 раза:

1. Длина окружности:
   Переведем \( 6 \frac{1}{6} \) в неправильную дробь: \( 6 \frac{1}{6} = \frac{6 · 6 + 1}{6} = \frac{37}{6} \).
   Пусть новый радиус \( r_3 = r / (37/6) = 6r/37 \).
   Новая длина окружности \( C_3 = 2πr_3 = 2π(6r/37) = (6/37)(2πr) = (6/37)C \).
   Длина окружности уменьшится в \( 37/6 \) раза.
2. Площадь круга:
   Пусть новый радиус \( r_3 = 6r/37 \).
   Новая площадь \( S_3 = πr_3^2 = π(6r/37)^2 = π(36r^2/1369) = (36/1369)(πr^2) = (36/1369)S \).
   Площадь круга уменьшится в \( 1369/36 \) раза.

Ответ:

• а) Увеличение радиуса в 4 раза: Длина окружности увеличится в 4 раза, площадь круга увеличится в 16 раз.
• б) Уменьшение радиуса в 2 раза: Длина окружности уменьшится в 2 раза, площадь круга уменьшится в 4 раза.
• в) Уменьшение радиуса в 6 1/6 раза: Длина окружности уменьшится в \( 37/6 \) раза, площадь круга уменьшится в \( 1369/36 \) раза.