№ 1. Найдите область определения функции: а) \(y=x^3\); б) \(y=\frac{1}{x-7}\); в) \(y=\sqrt{2x-x^2}\); г) \(y=\frac{10x^2}{x(7-x)}\); д) \(y=\sqrt{\frac{2-x}{3x+2}}\).

а) Функция \(y=x^3\) определена при любом действительном \(x\).

Ответ: \(D(y)=\mathbb{R}\).

б) Знаменатель не должен равняться нулю: \(x-7\ne0\), значит, \(x\ne7\).

Ответ: \(D(y)=\mathbb{R}\setminus\{7\}\).

в) Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(2x-x^2\ge0\). Разложим: \(x(2-x)\ge0\). Отсюда \(x\in[0;2]\).

Ответ: \(D(y)=[0;2]\).

г) Знаменатель должен быть ненулевым: \(x(7-x)\ne0\). Поэтому \(x\ne0\) и \(x\ne7\).

Ответ: \(D(y)=\mathbb{R}\setminus\{0;7\}\).

д) Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель — ненулевым: \(\frac{2-x}{3x+2}\ge0\), \(3x+2\ne0\). Критические точки: \(x=2\) и \(x=-\frac{2}{3}\). Знаки дроби показывают, что неравенство выполняется при \(-\frac{2}{3}

Ответ: \(D(y)=\left(-\frac{2}{3};2\right]\).