1. Найдите предел функции lim_{x→2} (2x²-x-6) / (x²-4)

Решение:

При подстановке x=2 в числитель и знаменатель получаем неопределённость вида \( \frac{0}{0} \). Применим правило Лопиталя или разложим числитель и знаменатель на множители.

Способ 1: Разложение на множители.

Числитель: \( 2x^2 - x - 6 \). Корни уравнения \( 2x^2 - x - 6 = 0 \) находятся по формуле: \( x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(2)(-6)}}{2(2)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4} = \frac{1 \pm 7}{4} \). Корни: \( x_1 = \frac{1+7}{4} = 2 \) и \( x_2 = \frac{1-7}{4} = -\frac{3}{2} \). Значит, \( 2x^2 - x - 6 = 2(x-2)(x+\frac{3}{2}) = (x-2)(2x+3) \).

Знаменатель: \( x^2 - 4 = (x-2)(x+2) \).

Тогда предел равен:

\[ \lim_{x\to 2} \frac{(x-2)(2x+3)}{(x-2)(x+2)} = \lim_{x\to 2} \frac{2x+3}{x+2} = \frac{2(2)+3}{2+2} = \frac{7}{4} \]

Способ 2: Правило Лопиталя.

\[ \lim_{x\to 2} \frac{2x^2-x-6}{x^2-4} = \lim_{x\to 2} \frac{(2x^2-x-6)'}{(x^2-4)'} = \lim_{x\to 2} \frac{4x-1}{2x} = \frac{4(2)-1}{2(2)} = \frac{7}{4} \]

Ответ: \( \frac{7}{4} \).