4. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x = a, x = b, осью Ох и графиком функции y = f(x): a = 2, b = 4, f(x) = x³.

Решение:

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции \( y = f(x) \), осью \( Ox \) и прямыми \( x = a \) и \( x = b \), вычисляется по формуле:

\[ S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx \]

В данном случае \( a = 2 \), \( b = 4 \), \( f(x) = x^3 \). На интервале \( [2, 4] \) функция \( f(x) = x^3 \) положительна, поэтому \( |f(x)| = f(x) \).

Вычислим интеграл:

\[ S = \int_{2}^{4} x^3 dx \]

Первообразная для \( x^3 \) есть \( \frac{x^4}{4} \).

\[ S = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{2}^{4} = \frac{4^4}{4} - \frac{2^4}{4} = \frac{256}{4} - \frac{16}{4} = 64 - 4 = 60 \]

Ответ: 60.