5. Докажите формулу медианы m = 1/2 * sqrt(2a² + 2b² - c²) в треугольнике со сторонами a, b, c, и углом φ:

Решение:

Пусть дан треугольник ABC со сторонами \( a, b, c \). Пусть \( m_c \) — медиана, проведённая к стороне \( c \). Точка D — середина стороны \( c \). Тогда \( AD = DB = \frac{c}{2} \). Рассмотрим треугольник ADC. По теореме косинусов:

\[ m_c^2 = b^2 + (\frac{c}{2})^2 - 2b(\frac{c}{2})\cos A \]

В треугольнике ABC по теореме косинусов:

\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \]

Отсюда выразим \( \cos A \):

\[ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \]

Подставим \( \cos A \) в выражение для \( m_c^2 \):

\[ m_c^2 = b^2 + \frac{c^2}{4} - 2b(\frac{c}{2})\left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right) \]

\[ m_c^2 = b^2 + \frac{c^2}{4} - \frac{bc(b^2 + c^2 - a^2)}{2bc} \]

\[ m_c^2 = b^2 + \frac{c^2}{4} - \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2} \]

Приведём к общему знаменателю 4:

\[ m_c^2 = \frac{4b^2 + c^2 - 2(b^2 + c^2 - a^2)}{4} \]

\[ m_c^2 = \frac{4b^2 + c^2 - 2b^2 - 2c^2 + 2a^2}{4} \]

\[ m_c^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4} \]

Извлекая квадратный корень, получим формулу медианы:

\[ m_c = \sqrt{\frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2} \]

Формула доказана.