1. Найдите значение выражения: ((√5-√2)^2+4√10)((√5-√2)^2+√10) / (√5+√2)

Решение:

Для упрощения выражения сначала раскроем квадрат разности в числителе:

\( (\sqrt{5} - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 5 - 2\sqrt{10} + 2 = 7 - 2\sqrt{10} \)

Теперь подставим это в числитель:

\( (7 - 2\sqrt{10} + 4\sqrt{10})((7 - 2\sqrt{10}) + \sqrt{10}) = (7 + 2\sqrt{10})(7 - \sqrt{10}) \)

Раскроем скобки:

\( (7 + 2\sqrt{10})(7 - \sqrt{10}) = 7 \cdot 7 - 7 \cdot \sqrt{10} + 2\sqrt{10} \cdot 7 - 2\sqrt{10} \cdot \sqrt{10} \)

\( = 49 - 7\sqrt{10} + 14\sqrt{10} - 2 \cdot 10 = 49 + 7\sqrt{10} - 20 = 29 + 7\sqrt{10} \)

Теперь разделим полученное выражение на знаменатель \( \sqrt{5} + \sqrt{2} \):

\( \frac{29 + 7\sqrt{10}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} \)

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \( \sqrt{5} - \sqrt{2} \):

\( \frac{(29 + 7\sqrt{10})(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2})} = \frac{29\sqrt{5} - 29\sqrt{2} + 7\sqrt{10}\sqrt{5} - 7\sqrt{10}\sqrt{2}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2} \)

\( = \frac{29\sqrt{5} - 29\sqrt{2} + 7\sqrt{50} - 7\sqrt{20}}{5 - 2} \)

Упростим корни:

\( \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \)

\( \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5} \)

Подставим обратно:

\( = \frac{29\sqrt{5} - 29\sqrt{2} + 7(5\sqrt{2}) - 7(2\sqrt{5})}{3} = \frac{29\sqrt{5} - 29\sqrt{2} + 35\sqrt{2} - 14\sqrt{5}}{3} \)

Сгруппируем подобные члены:

\( = \frac{(29\sqrt{5} - 14\sqrt{5}) + (-29\sqrt{2} + 35\sqrt{2})}{3} = \frac{15\sqrt{5} + 6\sqrt{2}}{3} \)

Разделим каждый член на 3:

\( = \frac{15\sqrt{5}}{3} + \frac{6\sqrt{2}}{3} = 5\sqrt{5} + 2\sqrt{2} \)

Ответ: 5√5 + 2√2