2. Решите уравнение: 7(x+1/x)-2(x^2+1/x^2)=9.

Решение:

Дано уравнение: \( 7(x+\frac{1}{x}) - 2(x^2+\frac{1}{x^2}) = 9 \)

Сделаем замену переменной. Пусть \( y = x + \frac{1}{x} \). Тогда \( y^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} \), откуда \( x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2 \).

Подставим замену в уравнение:

\( 7y - 2(y^2 - 2) = 9 \)

\( 7y - 2y^2 + 4 = 9 \)

\( -2y^2 + 7y + 4 - 9 = 0 \)

\( -2y^2 + 7y - 5 = 0 \)

Умножим на -1, чтобы коэффициент при \( y^2 \) был положительным:

\( 2y^2 - 7y + 5 = 0 \)

Решим квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{9} = 3 \)

Найдем значения \( y \):

\( y_1 = \frac{-(-7) + 3}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 3}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} \)

\( y_2 = \frac{-(-7) - 3}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 3}{4} = \frac{4}{4} = 1 \)

Теперь вернёмся к исходной переменной \( x \).

Случай 1: \( y = 1 \)

\( x + \frac{1}{x} = 1 \)

Умножим на \( x \) (предполагая \( x \neq 0 \)):

\( x^2 + 1 = x \)

\( x^2 - x + 1 = 0 \)

Найдем дискриминант для этого квадратного уравнения:

\( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 \)

Так как \( D < 0 \), это уравнение не имеет действительных корней.

Случай 2: \( y = \frac{5}{2} \)

\( x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2} \)

Умножим на \( 2x \) (предполагая \( x \neq 0 \)):

\( 2x^2 + 2 = 5x \)

\( 2x^2 - 5x + 2 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\( D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 \)

\( \sqrt{D} = 3 \)

Найдем значения \( x \):

\( x_1 = \frac{-(-5) + 3}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2 \)

\( x_2 = \frac{-(-5) - 3}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)

Ответ: x = 2, x = 1/2