1. Найдите значение выражения $$ \frac{5^3 \cdot 5^9}{5^{14}} $$

Решение:

Для нахождения значения выражения воспользуемся свойствами степеней.

1. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \).
2. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).

Применим эти свойства к выражению:

\[ \frac{5^3 \cdot 5^9}{5^{14}} = \frac{5^{3+9}}{5^{14}} = \frac{5^{12}}{5^{14}} = 5^{12-14} = 5^{-2} \]

Отрицательный показатель степени означает, что нужно взять обратную дробь и показатель сделать положительным: \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \).

\[ 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} \]

Ответ: \( \frac{1}{25} \).