1. Найти ООФ: а) \(y=\frac{1}{\sin x}\); б) \(y=\operatorname{ctg}\frac{x}{3}\); в) \(y=\lg(2\sin x+1)\).

а) Функция определена, если знаменатель не равен нулю: \(\sin x\ne0\). Поэтому \(x\ne\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).

ООФ: \(x\in\mathbb R\setminus\{\pi k\mid k\in\mathbb Z\}\).

б) Котангенс не определён, если \(\sin\frac{x}{3}=0\):

\(\frac{x}{3}=\pi k\), откуда \(x=3\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).

ООФ: \(x\in\mathbb R\setminus\{3\pi k\mid k\in\mathbb Z\}\).

в) Аргумент логарифма должен быть положительным:

\(2\sin x+1>0\), то есть \(\sin x>-\frac12\).

Следовательно, \(x\in\left(-\frac{\pi}{6}+2\pi k;\frac{7\pi}{6}+2\pi k\right)\), \(k\in\mathbb Z\).

Ответ: а) \(\mathbb R\setminus\{\pi k\}\); б) \(\mathbb R\setminus\{3\pi k\}\); в) \(\left(-\frac{\pi}{6}+2\pi k;\frac{7\pi}{6}+2\pi k\right)\), \(k\in\mathbb Z\).