2. Найти МЗФ: а) $y=1-4\sin 2x$; б) $y=\sin x+\sqrt3\cos x$; в) $y=\cos^2x-\sin x$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. Найти МЗФ: а) $y=1-4\sin 2x$; б) $y=\sin x+\sqrt3\cos x$; в) $y=\cos^2x-\sin x$.$ Фото задания

Accepted Answer

а) Так как $-1\le\sin 2x\le1$, то

$-4\le-4\sin 2x\le4$.

Прибавим 1: $-3\le1-4\sin 2x\le5$.

МЗФ: $[-3;5]$.

б) Преобразуем выражение:

$\sin x+\sqrt3\cos x=2\left(\frac12\sin x+\frac{\sqrt3}{2}\cos x\right)=2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$.

Так как $-1\le\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\le1$, получаем $-2\le y\le2$.

МЗФ: $[-2;2]$.

в) Обозначим $t=\sin x$, где $t\in[-1;1]$. Тогда $\cos^2x=1-\sin^2x=1-t^2$, поэтому

$y=1-t^2-t$.

Вершина параболы находится при $t=-\frac12$:

$y_{\max}=1-\left(-\frac12\right)^2-\left(-\frac12\right)=\frac74$.

На концах отрезка: $y(-1)=1$, $y(1)=-1$. Следовательно, $y_{\min}=-1$.

МЗФ: $\left[-1;\frac74\right]$.

Ответ: а) $[-3;5]$; б) $[-2;2]$; в) $\left[-1;\frac74\right]$.

2. Найти МЗФ: а) \(y=1-4\sin 2x\); б) \(y=\sin x+\sqrt3\cos x\); в) \(y=\cos^2x-\sin x\).