4. Доказать, что $T=\frac{2\pi}{3}$ и $T=-4\pi$ являются периодами функции $y=\frac12\cos 3x$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. Доказать, что $T=\frac{2\pi}{3}$ и $T=-4\pi$ являются периодами функции $y=\frac12\cos 3x$.$ Фото задания

Accepted Answer

Рассмотрим функцию $f(x)=\frac12\cos 3x$.

Для $T=\frac{2\pi}{3}$:

$f\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)=\frac12\cos\left(3x+2\pi\right)=\frac12\cos 3x=f(x)$.

Использовано свойство $\cos(\alpha+2\pi)=\cos\alpha$. Следовательно, $\frac{2\pi}{3}$ — период функции.

Для $T=-4\pi$:

$f(x-4\pi)=\frac12\cos(3x-12\pi)=\frac12\cos(3x-6\cdot2\pi)=\frac12\cos 3x=f(x)$.

Следовательно, $-4\pi$ также является периодом функции.

Ответ: $T=\frac{2\pi}{3}$ и $T=-4\pi$ являются периодами функции $y=\frac12\cos 3x$.

4. Доказать, что \(T=\frac{2\pi}{3}\) и \(T=-4\pi\) являются периодами функции \(y=\frac12\cos 3x\).