1. Найти углы трапеции ABCD, если BC ∥ AD, AB = BC = CD, а AC ⟂ CD.

1. Обозначим ∠BAC = ∠ACB = x: треугольник ABC равнобедренный, поскольку AB = BC.
2. Так как BC ∥ AD, ∠CAD = ∠ACB = x. В прямоугольном треугольнике ACD поэтому ∠ADC = 90° − x.
3. Пусть AB = BC = CD = s. По теореме косинусов в треугольнике ABC: AC = 2s cos x. В прямоугольном треугольнике ACD: AC = CD · ctg x = s · ctg x.
4. Приравниваем выражения: 2s cos x = s · ctg x, откуда sin x = 1/2 и x = 30°.
5. Угол A трапеции равен ∠BAC + ∠CAD = 2x = 60°. Соседние углы при каждой боковой стороне трапеции в сумме дают 180°.

Ответ: ∠A = ∠D = 60°, ∠B = ∠C = 120°.