1. Найти значение выражения: а) $\log_{12}3+\log_{12}4+1$; б) $8^{\log_2 3}+9^{\log_3 4}$; в) $\log_{12}144$; г) $9\cdot7^{\log_7 3}$; д) $\log_8 160-\log_8 2{,}5$; е) $(\log_9 81)\cdot(\log_2 64)$; ж) $\log_4 32+\log_{0{,}1}10$; з) $\frac{\log_9 2}{\log_{81}2}$; и) $\frac{\log_4 2}{\log_4 5}+\log_5 0{,}5$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1. Найти значение выражения: а) $\log_{12}3+\log_{12}4+1$; б) $8^{\log_2 3}+9^{\log_3 4}$; в) $\log_{12}144$; г)…$ Фото задания

1. Найти значение выражения: а) $\log_{12}3+\log_{12}4+1$; б) $8^{\log_2 3}+9^{\log_3 4}$; в) $\log_{12}144$; г) $9\cdot7^{\log_7 3}$; д) $\log_8 160-\log_8 2{,}5$; е) $(\log_9 81)\cdot(\log_2 64)$; ж) $\log_4 32+\log_{0{,}1}10$; з) $\frac{\log_9 2}{\log_{81}2}$; и) $\frac{\log_4 2}{\log_4 5}+\log_5 0{,}5$.

Accepted Answer

а) Объединим логарифмы с одинаковым основанием: $\log_{12}3+\log_{12}4+1=\log_{12}12+1=1+1=2$.

б) Используем свойство $a^{\log_a x}=x$: $8^{\log_2 3}=(2^3)^{\log_2 3}=3^3=27$, $9^{\log_3 4}=(3^2)^{\log_3 4}=4^2=16$. Сумма: $27+16=43$.

в) Так как $12^2=144$, то $\log_{12}144=2$.

г) По свойству $a^{\log_a x}=x$: $9\cdot7^{\log_7 3}=9\cdot3=27$.

д) По свойству разности логарифмов: $\log_8 160-\log_8 2{,}5=\log_8(160:2{,}5)=\log_8 64=2$.

е) $\log_9 81=2$, а $\log_2 64=6$. Поэтому $(\log_9 81)(\log_2 64)=2\cdot6=12$.

ж) $\log_4 32=\log_4(4^{5/2})=\frac52$, а $\log_{0{,}1}10=-1$, поскольку $0{,}1^{-1}=10$. Тогда $\frac52-1=\frac32$.

з) Поскольку $81=9^2$, имеем $\log_{81}2=\frac12\log_9 2$. Следовательно, $\frac{\log_9 2}{\log_{81}2}=2$.

и) По формуле перехода к новому основанию $\frac{\log_4 2}{\log_4 5}=\log_5 2$. Кроме того, $\log_5 0{,}5=\log_5\frac12=-\log_5 2$. Сумма равна $0$.

Ответ: а) 2; б) 43; в) 2; г) 27; д) 2; е) 12; ж) $\frac32$; з) 2; и) 0.