1. Образующая конуса равна 4√2 см и наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найти объем конуса.

Решение:

Дано:

• Образующая конуса \( l = 4\sqrt{2} \) см.
• Угол наклона образующей к плоскости основания \( \alpha = 45^{\circ} \).

Найти:

• Объем конуса \( V \).

Ход решения:

1. Определим высоту конуса \( h \) и радиус основания \( r \). Так как угол наклона равен 45°, то треугольник, образованный высотой, радиусом и образующей, является прямоугольным равнобедренным. Следовательно, \( h = r \).
2. Используем теорему Пифагора: \( l^2 = r^2 + h^2 \).
3. Подставим \( h = r \) и \( l = 4\sqrt{2} \): \( (4\sqrt{2})^2 = r^2 + r^2 \)
4. \( 16 \cdot 2 = 2r^2 \)
5. \( 32 = 2r^2 \)
6. \( r^2 = 16 \)
7. \( r = 4 \) см.
8. Так как \( h = r \), то \( h = 4 \) см.
9. Найдем объем конуса по формуле: \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \).
10. Подставим значения \( r \) и \( h \): \( V = \frac{1}{3}\pi \cdot 4^2 \cdot 4 = \frac{1}{3}\pi \cdot 16 \cdot 4 = \frac{64\pi}{3} \) см³.

Ответ: \( \frac{64\pi}{3} \) см³.