2. Осевое сечение цилиндра представляет собой квадрат, площадь которого равна 108 см². Найти объем цилиндра.

Решение:

Дано:

• Осевое сечение цилиндра — квадрат.
• Площадь квадрата \( S = 108 \) см².

Найти:

• Объем цилиндра \( V \).

Ход решения:

1. Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, стороны которого равны диаметру основания \( d \) и высоте цилиндра \( h \). В данном случае это квадрат, значит \( d = h \).
2. Площадь квадрата равна \( S = d \cdot h \).
3. Так как \( d = h \), то \( S = d^2 \) или \( S = h^2 \).
4. Подставим значение площади: \( d^2 = 108 \) см².
5. Найдем диаметр: \( d = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3} \) см.
6. Следовательно, высота цилиндра \( h = 6\sqrt{3} \) см.
7. Радиус основания цилиндра равен половине диаметра: \( r = \frac{d}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \) см.
8. Найдем объем цилиндра по формуле: \( V = \pi r^2 h \).
9. Подставим значения \( r \) и \( h \): \( V = \pi \cdot (3\sqrt{3})^2 \cdot 6\sqrt{3} = \pi \cdot (9 \cdot 3) \cdot 6\sqrt{3} = \pi \cdot 27 \cdot 6\sqrt{3} = 162\sqrt{3}\pi \) см³.

Ответ: \( 162\sqrt{3}\pi \) см³.