4. Плоский угол при вершине правильной четырехугольной пирамиды равен 60°, а боковое ребро равно 6. Найти объем пирамиды.

Решение:

Дано:

• Пирамида правильная четырехугольная.
• Плоский угол при вершине \( \alpha = 60^{\circ} \).
• Боковое ребро \( l = 6 \).

Найти:

• Объем пирамиды \( V \).

Ход решения:

1. Правильная четырехугольная пирамида имеет квадрат в основании.
2. Плоский угол при вершине — это угол между двумя боковыми ребрами, выходящими из вершины. В правильной четырехугольной пирамиде все боковые ребра равны, и все треугольники боковых граней равнобедренные.
3. Если плоский угол при вершине равен 60°, а боковые ребра равны, то треугольник боковой грани является равносторонним.
4. Следовательно, сторона основания пирамиды \( a \) равна боковому ребру \( l \). \( a = l = 6 \) см.
5. Найдем площадь основания: \( S_{осн} = a^2 = 6^2 = 36 \) см².
6. Найдем высоту пирамиды \( h \). Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром \( l \), высотой пирамиды \( h \) и радиусом описанной окружности вокруг основания \( R \).
7. Радиус описанной окружности для квадрата равен половине диагонали: \( R = \frac{d}{2} \).
8. Диагональ квадрата \( d = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \) см.
9. \( R = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \) см.
10. По теореме Пифагора: \( l^2 = h^2 + R^2 \).
11. \( 6^2 = h^2 + (3\sqrt{2})^2 \)
12. \( 36 = h^2 + (9 \cdot 2) \)
13. \( 36 = h^2 + 18 \)
14. \( h^2 = 36 - 18 = 18 \)
15. \( h = \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2} \) см.
16. Найдем объем пирамиды по формуле: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} h \).
17. Подставим значения \( S_{осн} \) и \( h \): \( V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 3\sqrt{2} = 12 \cdot 3\sqrt{2} = 36\sqrt{2} \) см³.

Ответ: \( 36\sqrt{2} \) см³.