1. Около правильного треугольника описана окружность и в него вписана окружность. Сторона треугольника равна 4. Найти площадь кольца и длину меньшей окружности.

Пошаговое решение:

• 1. Находим радиусы:
• Для правильного треугольника сторона \( a = 4 \).
• Радиус вписанной окружности \( r = \frac{a}{2 \sqrt{3}} \).
• Радиус описанной окружности \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \).
• Подставляем значение \( a = 4 \):
• \( r = \frac{4}{2 \sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \) см.
• \( R = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4 \sqrt{3}}{3} \) см.
• 2. Находим площадь кольца:
• Площадь кольца \( S_{кольца} = \pi R^2 - \pi r^2 \).
• \( S_{кольца} = \pi \left( \left( \frac{4 \sqrt{3}}{3} \right)^2 - \left( \frac{2 \sqrt{3}}{3} \right)^2 \right) \)
• \( S_{кольца} = \pi \left( \frac{16 \cdot 3}{9} - \frac{4 cdot 3}{9} \right) = \pi \left( \frac{48}{9} - \frac{12}{9} \right) \)
• \( S_{кольца} = \pi \left( \frac{36}{9} \right) = 4 \pi \) см².
• 3. Находим длину меньшей окружности:
• Длина окружности \( L = 2 \pi r \).
• \( L = 2 \pi \left( \frac{2 \sqrt{3}}{3} \right) = \frac{4 \pi \sqrt{3}}{3} \) см.

Ответ: Площадь кольца равна 4\(\pi\) см², длина меньшей окружности равна \(\frac{4 \pi \sqrt{3}}{3}\) см.