3. Найти площадь круга, вписанного в равнобедренный треугольник с боковой стороной 10 см и углом 120°, лежащим против основания.

Пошаговое решение:

• 1. Находим элементы треугольника:
• Равнобедренный треугольник с боковой стороной \( b = 10 \) см и углом при вершине \( \alpha = 120^{\circ} \).
• Углы при основании: \( \beta = \frac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \).
• Высота \( h \), опущенная на основание, делит угол \( \alpha \) пополам: \( \frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ} \).
• Половина основания \( \frac{a}{2} = b \sin(60^{\circ}) = 10 cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5 \sqrt{3} \) см.
• Основание \( a = 2 cdot 5 \sqrt{3} = 10 \sqrt{3} \) см.
• Высота \( h = b \cos(60^{\circ}) = 10 cdot \frac{1}{2} = 5 \) см.
• 2. Находим площадь и полупериметр треугольника:
• Площадь \( S = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} cdot 10 \sqrt{3} cdot 5 = 25 \sqrt{3} \) см².
• Периметр \( P = a + 2b = 10 \sqrt{3} + 2 cdot 10 = 10 \sqrt{3} + 20 \) см.
• Полупериметр \( p = \frac{P}{2} = 5 \sqrt{3} + 10 \) см.
• 3. Находим радиус вписанного круга:
• Радиус вписанной окружности \( r = \frac{S}{p} \).
• \( r = \frac{25 \sqrt{3}}{10 + 5 \sqrt{3}} = \frac{25 \sqrt{3}}{5(2 + \sqrt{3})} = \frac{5 \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} \)
• Умножаем числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( (2 - \sqrt{3}) \):
• \( r = rac{5 \sqrt{3} (2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = rac{10 \sqrt{3} - 5 cdot 3}{4 - 3} = 10 \sqrt{3} - 15 \) см.
• 4. Находим площадь вписанного круга:
• Площадь круга \( S_{круга} = \pi r^2 \).
• \( S_{круга} = \pi (10 \sqrt{3} - 15)^2 \)
• \( S_{круга} = \pi ((10 \sqrt{3})^2 - 2 cdot 10 \sqrt{3} cdot 15 + 15^2) \)
• \( S_{круга} = \pi (300 - 300 \sqrt{3} + 225) = \pi (525 - 300 \sqrt{3}) \) см².

Ответ: Площадь вписанного круга равна \(\pi (525 - 300 \sqrt{3})\) см².