1) Окружность, вписанная в ΔABC, касается его сторон в точках D, E и F (D ∈ AB, E ∈ BC, F ∈ AC). AD = 13, BE = 3, P Δ ABC = 46 см. Найдите длину стороны AC.

Дано:

• Окружность вписана в \( \triangle ABC \)
• Точки касания: \( D \in AB, E \in BC, F \in AC \)
• \( AD = 13 \) см
• \( BE = 3 \) см
• Периметр \( \triangle ABC \) = 46 см

Найти: Длину стороны \( AC \).

Решение:

Свойства касательных, проведенных из одной точки к окружности, гласят, что отрезки касательных от точки касания до внешней точки равны.

Следовательно:

• \( AD = AF = 13 \) см
• \( BD = BE = 3 \) см
• \( CE = CF \) (обозначим эту длину как \( x \))

Стороны треугольника равны:

• \( AB = AD + DB = 13 + 3 = 16 \) см
• \( BC = BE + EC = 3 + x \) см
• \( AC = AF + FC = 13 + x \) см

Периметр треугольника равен сумме длин его сторон:

\( P = AB + BC + AC \)

\( 46 = 16 + (3 + x) + (13 + x) \)

\( 46 = 16 + 3 + x + 13 + x \)

\( 46 = 32 + 2x \)

\( 46 - 32 = 2x \)

\( 14 = 2x \)

\( x = \frac{14}{2} = 7 \) см

Теперь найдем длину стороны \( AC \):

\( AC = AF + FC = 13 + x = 13 + 7 = 20 \) см

Ответ: 20 см.