3) Боковая сторона равноб. Δ делится точкой касания вписанной окр-ти в отношении 5:2, считая от вершины треугольника. Найдите стороны Δ, если его периметр 54 см.

Дано:

• Равнобедренный \( \triangle ABC \) ( \( AB=BC \) )
• \( O \) — центр вписанной окружности.
• Точка касания \( D \) на \( AB \) делит сторону в отношении \( AD:DB = 5:2 \)
• Периметр \( \triangle ABC = 54 \) см

Найти: Стороны \( \triangle ABC \).

Решение:

Пусть \( AB = BC = 5x + 2x = 7x \), где \( x \) — некоторый коэффициент пропорциональности. Тогда:

• \( AD = 5x \)
• \( DB = 2x \)

По свойству касательных, проведенных из одной точки к вписанной окружности:

• \( AD = AF = 5x \)
• \( DB = BE = 2x \)
• \( CE = CF \) (обозначим как \( y \))

Стороны треугольника:

• \( AB = 7x \)
• \( BC = BE + EC = 2x + y \)
• \( AC = AF + FC = 5x + y \)

По условию, треугольник равнобедренный, значит, \( AB = BC \) или \( AC = AB \) или \( AC = BC \).

Случай 1: \( AB = BC \)

\( 7x = 2x + y \)

\( y = 5x \)

Тогда стороны равны:

• \( AB = 7x \)
• \( BC = 2x + 5x = 7x \)
• \( AC = 5x + 5x = 10x \)

Периметр: \( P = AB + BC + AC = 7x + 7x + 10x = 24x \)

По условию \( P = 54 \) см:

\( 24x = 54 \)

\( x = \frac{54}{24} = \frac{9}{4} = 2.25 \) см

Стороны:

• \( AB = BC = 7x = 7 \times 2.25 = 15.75 \) см
• \( AC = 10x = 10 \times 2.25 = 22.5 \) см

Проверим неравенство треугольника: \( 15.75 + 15.75 > 22.5 \) (31.5 > 22.5 — верно).

Случай 2: \( AC = AB \)

\( 5x + y = 7x \)

\( y = 2x \)

Тогда стороны равны:

• \( AB = 7x \)
• \( BC = 2x + 2x = 4x \)
• \( AC = 5x + 2x = 7x \)

Это означает, что \( AB = AC \), и \( BC \) — основание. Но по условию \( AB = BC \), что противоречит \( BC = 4x \) и \( AB = 7x \) (если \( x \) не равен 0).

Случай 3: \( AC = BC \)

\( 5x + y = 2x + y \)

\( 5x = 2x \)

\( 3x = 0 \)

\( x = 0 \). Это означает, что стороны равны 0, что невозможно.

Таким образом, остается только случай 1.

Ответ: Стороны треугольника равны 15.75 см, 15.75 см и 22.5 см.