3) Боковая сторона равнобедренного тр-ка делится точкой касания вписанной окружности в отношении 4:3, считая от вершины треугольника. Найдите стороны Д, если его периметр равен 60 см.

Дано:

• Равнобедренный \( \triangle ABC \) ( \( AB=BC \) )
• \( O \) — центр вписанной окружности.
• Точка касания \( D \) на \( AB \) делит сторону в отношении \( AD:DB = 4:3 \)
• Периметр \( \triangle ABC = 60 \) см

Найти: Стороны \( \triangle ABC \).

Решение:

Пусть \( AB = BC = 4x + 3x = 7x \), где \( x \) — некоторый коэффициент пропорциональности. Тогда:

• \( AD = 4x \)
• \( DB = 3x \)

По свойству касательных, проведенных из одной точки к вписанной окружности:

• \( AD = AF = 4x \)
• \( DB = BE = 3x \)
• \( CE = CF \) (обозначим как \( y \))

Стороны треугольника:

• \( AB = 7x \)
• \( BC = BE + EC = 3x + y \)
• \( AC = AF + FC = 4x + y \)

По условию, треугольник равнобедренный, значит, \( AB = BC \) или \( AC = AB \) или \( AC = BC \).

Случай 1: \( AB = BC \)

\( 7x = 3x + y \)

\( y = 4x \)

Тогда стороны равны:

• \( AB = 7x \)
• \( BC = 3x + 4x = 7x \)
• \( AC = 4x + 4x = 8x \)

Периметр: \( P = AB + BC + AC = 7x + 7x + 8x = 22x \)

По условию \( P = 60 \) см:

\( 22x = 60 \)

\( x = \frac{60}{22} = \frac{30}{11} \) см

Стороны:

• \( AB = BC = 7x = 7 \times \frac{30}{11} = \frac{210}{11} \) см (приблизительно 19.09 см)
• \( AC = 8x = 8 \times \frac{30}{11} = \frac{240}{11} \) см (приблизительно 21.82 см)

Проверим неравенство треугольника: \( \frac{210}{11} + \frac{210}{11} > \frac{240}{11} \) (\( \frac{420}{11} > \frac{240}{11} \) — верно).

Случай 2: \( AC = AB \)

\( 4x + y = 7x \)

\( y = 3x \)

Тогда стороны равны:

• \( AB = 7x \)
• \( BC = 3x + 3x = 6x \)
• \( AC = 4x + 3x = 7x \)

Это означает, что \( AB = AC = 7x \), и \( BC = 6x \) — основание. Но по условию \( AB = BC \), что противоречит \( BC = 6x \) и \( AB = 7x \) (если \( x \) не равен 0).

Случай 3: \( AC = BC \)

\( 4x + y = 3x + y \)

\( 4x = 3x \)

\( x = 0 \). Это означает, что стороны равны 0, что невозможно.

Таким образом, остается только случай 1.

Ответ: Стороны треугольника равны \( \frac{210}{11} \) см, \( \frac{210}{11} \) см и \( \frac{240}{11} \) см.