1) Окружность, вписанная в ΔDEF касается его сторон в точках H, B и C (H ∈ DE, B ∈ EF, C ∈ FD). DH = 10, EB = 4. P Δ DEF = 40 см. Найдите длину стороны PF.

Дано:

• Окружность вписана в \( \triangle DEF \)
• Точки касания: \( H \in DE, B \in EF, C \in FD \)
• \( DH = 10 \) см
• \( EB = 4 \) см
• Периметр \( \triangle DEF = 40 \) см

Найти: Длину стороны \( PF \).

Решение:

По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезки касательных равны:

• \( DH = DC = 10 \) см
• \( EH = EB = 4 \) см
• \( FB = PC \) (обозначим эту длину как \( x \))

Стороны треугольника равны:

• \( DE = DH + HE = 10 + 4 = 14 \) см
• \( EF = EB + BF = 4 + x \) см
• \( DF = DC + CF = 10 + x \) см

Периметр треугольника равен сумме длин его сторон:

\( P = DE + EF + DF \)

\( 40 = 14 + (4 + x) + (10 + x) \)

\( 40 = 14 + 4 + x + 10 + x \)

\( 40 = 28 + 2x \)

\( 40 - 28 = 2x \)

\( 12 = 2x \)

\( x = \frac{12}{2} = 6 \) см

Поскольку \( x \) обозначает длину отрезка \( FB \) (который мы обозначили как \( x \)), то \( PF \) (или \( FC \)) тоже равно \( x \).

\( PF = x = 6 \) см.

Ответ: 6 см.