1. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 25 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

Решение:

В равнобедренном треугольнике отрезки касательных, проведенных из вершины, равны. Точка касания делит боковую сторону на отрезки 25 и 3. Так как отрезки, считая от вершины, равны, то сторона треугольника состоит из отрезка длиной 25 (от вершины) и отрезка длиной 3 (от основания).

Значит, длина боковой стороны равна \( 25 + 3 = 28 \).

По свойству касательных, отрезки, проведенные из вершины к точке касания, равны. Боковая сторона делится на отрезки 25 и 3, считая от вершины. Отрезок 25 идет от вершины, а отрезок 3 — от основания. Следовательно, длина боковой стороны равна \( 25 + 3 = 28 \).

Так как треугольник равнобедренный, вторая боковая сторона также равна 28.

Основание треугольника состоит из двух отрезков, равных отрезку, который идет от точки касания до основания. То есть, основание равно \( 2 \cdot 3 = 6 \).

Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон:

\( P = 28 + 28 + 6 = 62 \).

Ответ: 62.