3. В треугольнике АВС угол C равен 90°, ВС=16. Радиус окружности, описанной около этого треугольника, равен 10. Найдите АС.

Решение:

В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы. Гипотенузой является сторона, противоположная прямому углу, то есть сторона AB.

Дано, что радиус описанной окружности R = 10.

Следовательно, длина гипотенузы \( AB = 2 \cdot R = 2 \cdot 10 = 20 \).

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где \( BC = 16 \) и \( AB = 20 \). Мы можем найти длину катета AC, используя теорему Пифагора: \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \).

\( AC^2 + 16^2 = 20^2 \)

\( AC^2 + 256 = 400 \)

\( AC^2 = 400 - 256 \)

\( AC^2 = 144 \)

\( AC = \sqrt{144} = 12 \).

Ответ: 12.