4. Основания равнобедренной трапеции равны 48 и 20. Радиус описанной окружности равен 26. Найдите высоту трапеции, если известно, что центр описанной окружности лежит внутри трапеции.

Решение:

Пусть основания трапеции \( AD = 48 \) и \( BC = 20 \). Боковые стороны равнобедренной трапеции равны, обозначим их \( AB = CD = b \).

В равнобедренной трапеции, описанной окружностью, центр окружности лежит на оси симметрии трапеции.

Пусть \( O \) — центр описанной окружности, \( R = 26 \) — радиус окружности.

Опустим высоты \( BK \) и \( CL \) из вершин \( B \) и \( C \) на основание \( AD \).

Тогда \( KL = BC = 20 \).

\( AK = LD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{48 - 20}{2} = \frac{28}{2} = 14 \).

В прямоугольном треугольнике \( ABK \): \( AB^2 = AK^2 + BK^2 \), то есть \( b^2 = 14^2 + h^2 = 196 + h^2 \), где \( h = BK \) — высота трапеции.

Теперь рассмотрим треугольник \( AOD \), где \( O \) — центр окружности. \( OA = OD = R = 26 \). \( AD = 48 \).

Пусть \( M \) — середина \( AD \). Тогда \( OM \) — высота в равнобедренном треугольнике \( AOD \). \( AM = MD = 24 \).

В прямоугольном треугольнике \( AMD \): \( OA^2 = OM^2 + AM^2 \). \( 26^2 = OM^2 + 24^2 \).

\( 676 = OM^2 + 576 \)

\( OM^2 = 676 - 576 = 100 \)

\( OM = 10 \).

Высота трапеции \( h = BK \). Центр окружности \( O \) находится на оси симметрии. Высота \( h \) может быть выражена как сумма или разность отрезков, связанных с \( OM \) и радиусом \( R \) (например, \( OB \) или \( OA \)).

Рассмотрим треугольник \( OBK \). \( OB = R = 26 \). \( BK = h \).

Отрезок \( OK \) можно найти, зная положение центра \( O \) относительно основания \( BC \).

Если центр \( O \) лежит внутри трапеции, то он находится между основаниями. Опустим перпендикуляр из \( O \) на \( BC \) (или продолжение \( BC \)). Пусть \( P \) — точка на \( BC \) такая, что \( OP ⊥ BC \). Тогда \( OP = OM - MB \) или \( OP = OM + MB \).

Отрезок \( MB \) равен \( MD - BD \), но это не так просто.

Более простой способ:

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( OKB \). \( OB = 26 \). \( BK = h \).

Отрезок \( OK \) равен расстоянию от точки \( K \) до оси симметрии. \( K \) — середина отрезка \( AD \) минус \( AK \). \( K \) — точка, где опущена высота из \( B \). \( K \) находится на \( AD \).

Ось симметрии проходит через середину \( AD \) (точка \( M \)) и середину \( BC \) (точка \( N \)).

\( MK = AK = 14 \).

Расположение центра \( O \) относительно \( BC \):

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( OB N \), где \( N \) — середина \( BC \). \( ON = \frac{AD-BC}{2} = 14 \).

\( OB^2 = ON^2 + BN^2 \). \( 26^2 = 14^2 + BN^2 \). \( 676 = 196 + BN^2 \). \( BN^2 = 480 \). \( BN = \sqrt{480} = 4\sqrt{30} \). Но \( BN \) — это половина \( BC \), то есть \( 20/2 = 10 \). Это противоречие.

Вернемся к \( OM = 10 \).

Высота трапеции \( h = BK \). Точка \( K \) находится на \( AD \). \( AK = 14 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( BKA \). \( AB^2 = AK^2 + BK^2 \) => \( b^2 = 14^2 + h^2 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( OMB \) — нет, \( B \) не лежит на оси. Рассмотрим \( OKB \).

Опустим высоту \( BK \) на \( AD \). \( AK = 14 \).

Рассмотрим треугольник \( ODA \). \( OA = OD = R = 26 \). \( AD = 48 \). Высота \( OM = 10 \).

Высота трапеции \( h \). Точка \( K \) на \( AD \).

Пусть \( h_1 \) — расстояние от \( O \) до \( AD \), \( h_2 \) — расстояние от \( O \) до \( BC \).

\( h_1 = OM = 10 \).

\( h_2 = ON \). \( N \) — середина \( BC \). \( BN = 10 \).

\( OB^2 = ON^2 + BN^2 \). \( 26^2 = ON^2 + 10^2 \).

\( 676 = ON^2 + 100 \).

\( ON^2 = 576 \).

\( ON = 24 \).

Высота трапеции \( h = h_1 + h_2 = OM + ON = 10 + 24 = 34 \).

Проверим боковую сторону:

\( b^2 = 196 + h^2 = 196 + 34^2 = 196 + 1156 = 1352 \).

\( b = \sqrt{1352} \).

Теперь проверим, что \( O \) лежит внутри трапеции. \( OM = 10 \), \( ON = 24 \).

Основание \( BC \) находится на расстоянии \( ON = 24 \) от \( O \).

Основание \( AD \) находится на расстоянии \( OM = 10 \) от \( O \).

Высота трапеции \( h = 34 \).

Центр \( O \) лежит на оси симметрии. Ось симметрии находится на расстоянии \( 10 \) от \( AD \) и на расстоянии \( 24 \) от \( BC \).

Высота трапеции = \( 10 + 24 = 34 \).

Ответ: 34.